El problema del barquero resuelto de modo “lógico”

Puesto que ya hace tiempo (casi un mes),que publiqué el enunciado del Problema del Barquero, lo que ahora toca es la resolución del mismo según la lógica. En este caso y en aras de una mejor comprensión no está de mas recordar algo actualmente tan cotidiano como una escalera mecánica. El agua de nuestro canal sería la escalera y el barquero un peatón que avanza por la escalera en sentido contrario al de su marcha.

Dicho esto vamos al núcleo del problema. Resulta que no sabemos la velocidad del agua del canal (Va) respecto a las orillas y al fondo del mismo, que logicamente consideramos inmóviles. Tampoco sabemos la velocidad de la barca (Vb), respecto al agua. Tampoco sabemos el tiempo (T) que tardó el barquero en alcanzar la botella,una vez que se dió cuenta de que le faltaba. Sólo sabemos sólo que pasaron 20 minutos desde que la botella cayó al agua,hasta que el barquero se dió cuenta y sabemos tambien que cuando recuperó su botella de vino,esta se hallaba a una distancia de 1.000 metros del puente.

Partiré de la consideración de que cualquiera que pretenda “hincar el diente” a este sencillo-complicado problema,ha de estar familiarizado con el lenguaje matemático y en concreto con las ecuaciones, esa sucesión de letras (que corresponden a números) enlazadas mediante símbolos matemáticos (mas,menos,paréntesis,divido,…..).El lenguaje matemático es mucho mas preciso que el habitual (muy ambiguo a menudo) y es mas sencillo, entendiendo como tal que escrito ocupa mucho menos espacio. Pues bien dicho esto señalo que puesto que nos hallamos ante TRES incógnitas,hemos de enunciar tres ecuaciones. Yo tras muchas vueltas hallé estas tres:

1. A) 000 = (T x Va) – (20 x Va) = Va x (T+ 20)
2. B) (Vb +Va) x T = 1.000 + ((Vb-Va) x 20 )
3. C) (1.000 + ((Vb-Va) x 20))/(Vb+Va))= (1.000 -(Va x 20))/Va

Si todo lo dicho anteriormente en esas tres líneas (A,B,C);lo hubiese que expresar en lenguaje corriente, saldría una “parrafada”,muy extensa y de difícil asimilación,…..vamos lo que se dice habitualmente “un rollo macabeo”, pero aún con el lenguaje matemático el asunto es complicado y sobre todo lo complicado es determinar cuales han de ser los términos concretos de cada una de esas tres ecuaciones. Me costó  tiempo llegar a determinarlos y aún ahora confieso que entiendo que son correctas, porque en su día las repasé hasta la saciedad y porque los resultados finales lo confirman;pero me sigue pareciendo “un tostón” analizarlas de modo pormenorizado de nuevo.

Pero esto no es todo, ahora hay que despejar para determinar los números que corresponden a cada una de las letras.Yo opté por despejar T en la ecuación A y sustituir su valor en B y en C. Así me quedarían dos ecuaciones con dos incognitas (Va y Vb);pero tras despejar T en la ecuación A y sustituirlo en le ecuación B,…..¡¡ sorpresa¡¡,…. obtuve esta ecuación: 1000= 40 Va. Esto significa que sea cual sea el valor de Vb, el valor de Va será igual a 25 m/minuto. De modo inesperado partiendo de dos ecuaciones (A y B) y tres incógnitas (T, Va y Vb),llegamos a la conclusión de que Va = 25 m/minuto.Recordemos que Va es precísamente lo que queríamos hallar, luego aquí se acaba el problema. Es extraño que con sólo dos ecuaciones y tres incógnitas,se llegue a la solución,pero asi resulta ser.

No obstante y por simple curiosidad si el valor despejado de T en la ecuación A lo sustituimos en la ecuación C,de nuevo obtenemos que Va = 25 m/minuto. Por otra parte y ya redondeando la faena sabiendo que Va= 25 m/minuto, es muy sencillo determinar (ecuación A) ,que T =20 minutos; es decir que el tiempo que estuvo el barquero remando a favor de la corriente, fue el mismo que el utilizado remando a favor, algo que en efecto ya se dedujo con suma sencillez cuando supusimos que el aguaestaba en calma y que quien se movíaera el canalen su conjunto.En cuanto a la velocidad Vb, del barquero respecto al agua;esta puede adoptar cualquier valor,por lo que se deduce. Lo único exigible es que sea siempre la misma y que sea superior a la del agua respecto a la orilla,pues de lo contrario no podría avanzar a contracorriente y el problema sería otro.

En una palabra que al tratar de resolver este problema según la “logica”, nos topamos primero con la dificultad de hallar las ecuaciones adecuadas y después con la  la solución que llega mas pronto de lo debido y otras sorpresas.

Es a este punto donde nos conduce este problema,como en su día expuso José Vicente Gavilanes:lo que consideramos “lógico” y razonable quizá no siempre lo es. Por ejemplo el tiempo transcurrido entre dos sucesos ha de ser siempre el mismo,según la “logica”. La Relatividad dice sin embargo que esto no es así y que sólo el hecho de que nos movemos a velocidades muy bajas (en comparación con la dela luz),hace que no nos demos cuenta de esto cuando emprendemos un viaje y retornamos al punto de partida.Nuestros descendientes si son capaces de viajar a velocidades mucho mas próximas a la de la luz que nosotros, si podrán peribirlo nítidamente. Ahora lo único que podemos hacer es calcular ese “acortamiento” o “estiramiento” del tiempo.

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Madrid, 13 de abril de 2.015

        Rogelio Meléndez Tercero